浮点数表示：IEEE 754 标准

整数用补码表示，但实数范围极大且小数位可变，需用"科学计数法"式的浮点表示。本文整理 IEEE 754 标准下单精度/双精度浮点的组成、转换、特殊值与精度问题。

一、为什么需要浮点数

定点数（小数点位置固定）无法同时表示极大与极小的数，且精度固定。浮点数借鉴科学计数法，用指数调节小数点位置，以有限的位表示跨度极大的数值范围。

科学计数法形式：

[ N = \pm M \times 2^E ]

• M（尾数/有效数字，Mantissa）：决定精度。
• E（阶码/指数，Exponent）：决定范围。

二、IEEE 754 的组成

IEEE 754 是浮点数的行业标准，常见两种：

关键设计：

• 隐含整数位（hidden bit）：标准要求尾数规范化后最高位恒为 1，故不显式存储，实际有效位为 (M+1) 位。例如单精度实际精度 24 位。
• 阶码用移码（偏置）存储：阶码有正有负，无法直接用补码比较大小。IEEE 754 用偏置（Bias）：单精度偏置 127，双精度偏置 1023。
  • 实际存储的阶码 = 真阶 + 偏置。
  • 例如真阶 0 → 存 127（单精度）。

三、浮点数的转换

十进制 → 二进制浮点

例：(6.5) 转单精度。

1. 转二进制：(6.5 = 110.1_2)。
2. 规范化：(110.1 = 1.101 \times 2^{2})。
   • 尾数 M = 101（去掉隐含 1），不足 23 位右补 0。
   • 真阶 E = 2。
3. 存储阶码 = (2 + 127 = 129 = 10000001_2)。
4. 符号位 0。
5. 拼接：0 10000001 10100000000000000000000。

二进制浮点 → 十进制

0 10000001 10100000000000000000000：

• 符号 0 = 正。
• 阶码 129 → 真阶 (129-127=2)。
• 尾数 101 → 数值 (1.101_2)。
• 结果 (1.101 \times 2^2 = 110.1_2 = 6.5)。

四、特殊值

IEEE 754 用阶码全 0 / 全 1 表示特殊值：

• 除以 0 得到 (\infty)；0/0、(\infty-\infty) 得到 NaN。
• 浮点数支持 -0，且 -0 == +0 为 true，但 1/-0 = -∞。

五、精度与经典陷阱

二进制无法精确表示十进制小数

十进制的 0.1 转二进制是无限循环小数（(0.0001100110011\cdots)），存储时被截断，产生舍入误差。

0.1 + 0.2  # 输出 0.30000000000000004

这是浮点数的固有局限，不是 bug。理解此点对工程至关重要。

避免浮点比较陷阱

• 不要直接用 == 比较浮点数，应比较差的绝对值是否小于阈值：
  python

  abs(a - b) < 1e-9

• 需要精确计算的场景（金额、金融）使用定点数/十进制类型（如 Decimal），或用整数表示最小单位（分）。
• 大数相加时，先加小数避免精度损失；累加大量小数时误差会累积。

大数吞小数

16777216.0 + 1.0 在 float 下等于 16777216.0，因为 24 位有效位无法表示 +1 的增量。大数与极小数的加法可能被"吞掉"。

六、数值范围与阶码上下溢

• 上溢（Overflow）：数值超过最大可表示范围 → (\infty)。
• 下溢（Underflow）：数值小于最小非规格化数 → 0 或非规格化数。

小结

• IEEE 754 用"符号 + 移码阶码 + 规范化尾数"表示浮点数，隐含整数位提升精度。
• 单精度偏置 127、双精度偏置 1023；阶码全 0/全 1 对应 0、非规格化、∞、NaN。
• 十进制小数转二进制多不精确，应避免直接相等比较，精确场景用定点数/Decimal。